Энергетический смысл уравнения бернулли
2.4. Геометрический и энергетический смысл уравнения д.Бернулли
Все члены, входящие в уравнение Д.Бернулли, имеют линейную размерность, поэтому их принято называть высотами. Соответственно общеприняты следующие названия для этих членов:
- геометрическая или геодезическая высота;
- пьезометрическая высота или высота давления;
- скоростная высота или скоростной напор.
Легко усмотреть следующий геометрический смысл уравнения Д.Бернулли, который заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма трех высот (геометрической, пьезометрической и скоростной) не меняется вдоль данной элементарной струйки. Это положение наглядно иллюстрируется II.01.
Можно трактовать смысл отдельных членов уравнения Бернулли иначе. Выше было показано, что сумма представляет собой удельную энергию жидкости. В соответствии с этим можно считать, что:
- есть удельная энергия положения;
- есть удельная энергия давления;
- есть удельная кинетическая энергия.
Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма удельных энергий положения, давления и кинетической не меняется вдоль данной элементарной струйки.
Очевидно, двучлен представляет собойудельную потенциальную кинетическую энергию движущейся частицы жидкости. Полная удельная энергия (т.е. потенциальная + кинетическая) называется гидродинамическим напором и обозначается . Таким образом, уравнение Бернулли показывает, что при установившемся движении идеальной жидкости для данной струйки гидродинамический напор есть величина постоянная.
Рис. II.01
На графике линия гидродинамического напора изображается горизонтальной линией.
2.5. Уравнение д.Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости. Пьезометрический и гидравлический уклоны
При движении реальной жидкости между соседними струйками возникают силы трения, на преодоление которых затрачивается часть энергии жидкости.
Поэтому удельная энергия жидкости в сечении элементарной струйки 2-2 будет мене удельной энергии жидкости в сечении 1-1 на некоторую величину , которую называют потерянной высотой или потерянной удельной энергией, затрачиваемой на преодоление гидравлических сопротивлений. Аналитически это положение запишется таким образом:
(11.14)
Следовательно, при установившемся движении реальной жидкости сумма четырех высот (геометрической, пьезометрической, скоростной и потерянной) или, что то же самое, сумма четырех удельных энергий 9положения, давления, кинетической и потерянной) не изменяется вдоль данной элементарной струйки.
Легко изобразить уравнение Бернулли для рассматриваемого случая графически. Для этого следует, выбрав произвольную горизонтальную плоскость сравнения, отложить на ней в каждом сечении высоты ;;и. Концы отрезков, соединенные плавной кривой, покажут положение оси струйки. Соединяя концы отрезковплавной кривой, получим так называемую пьезометрическую линию.
Отложив в каждом сечении вверх от пьезометрической линии отрезки, равные скоростным напорам, и соединив их концы плавной кривой, получим линию гидродинамического напора или, как ее часто называют, гидравлическую линию (рис.II.02). Отрезки, равные расстояниям по вертикали от гидравлической линии, проходящей над плоскостью сравнения на высоте, равной начальной удельной энергии на гидравлические сопротивления на участке от начального до рассматриваемого сечения.
Рис. II.02
Проделаем теперь следующее построение: разверзнем криволинейную ось струйки s в горизонтальную прямую линию и в каждой ее точке отложим по вертикали значения удельных энергий ;и. Соединяя концы отрезкови , получим изображение пьезометрической и гидравлической линий. Падение пьезометрической линии на единицу длины элементарной струйки назовем пьезометрическим уклоном:
. (11.15)
Соответственно падение гидравлической линии на единицу длины элементарной струйки назовем гидравлическим уклоном I:
(11. 16)
На графике (рис. II.03) пьезометрический уклон представляется тангенсом угла наклона касательной к пьезометрической линии, а гидравлический уклон – тангенсом угла наклона касательной к гидравлической линии. Значение пьезометрического уклона может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, увеличивается или уменьшается величина удельной потенциальной энергии вдоль элементарной струйки.
Рис. II.03
Гидравлиеческий уклон есть всегда величина положительная, так как полная удельная энергия движущейся части жидкости постепенно уменьшается по мере ее продвижения вдоль элементарной струйки, затрачиваясь на преодоление сил трения, превращаясь в тепловую энергию и рассеиваясь.
3.9.2. Энергетический смысл уравнения Бернулли
Если рассматривать уравнение Бернулли как уравнение энергии, то каждое из слагаемых должно измеряться в единицах работы. Чтобы перевести уравнение (3. 18) в уравнение работы надо умножить его на единицу силу, например, на 1Н, тогда размерность каждого слагаемого будет выражена в Нм (Дж).
Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесённую к единице массы. Тогда:
- удельная потенциальная энергия положения, т.к. частица жидкости массой , находясь на высоте, обладает энергией положения;
- удельная потенциальная энергия давления движущейся жидкости, т.к. частица жидкости массой при давленииобладает способностью подняться на высотуи приобрести потенциальную энергию;
- удельная кинетическая энергия давления движущейся жидкости, т.к. частица жидкости массой обладает кинетической энергией.
Итак, энергетический смысл уравнения Бернулли:
1) При установившемся движении идеальной жидкости полная удельная энергия в любом поперечном сечении равна сумме трёх удельных энергий - положения, давления и кинетической и есть величина постоянная;
2) При переходе от одного сечения струйки к любому другому её поперечному сечению удельная энергия одного вида может изменяться только за счёт изменения удельных энергий других видов.
Иными словами, уравнение Бернулли представляет собой частное выражение закона сохранения энергии применительно к струйке идеальной жидкости.
3.10. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости
Вязкая жидкость при движении испытывает сопротивление, поэтому её удельная энергия не может сохраняться неизменной вдоль струйки. На преодоление трения расходуется часть энергии, которая превращается в тепловую энергию, невозвратимую для рассматриваемой движущейся жидкости. Происходит так называемая диссипация (рассеяние) энергии в пространстве. Кроме того, энергия теряется на преодоление других различных видов сопротивлений.
В соответствии с этим при движении вязкой жидкости в уравнении Бернулли надо ввести поправку на потери напора по длине струйки. Выделим в потоке элементарную струйку (рис. 3.12).
Рис. 3.12. Элементарная струйка
Обозначим полную удельную энергию в сечении 1-1 через , в сечении 2-2 через, а потери напора -.
Для идеальной струйки
,
А для реальной струйки в силу необратимых потерь на трение
.
В результате получим следующую запись уравнения Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости
. (3.19)
Полученное уравнение Бернулли справедливо для элементарной струйки вязкой жидкости.
3.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости
Разобьём установившийся параллельноструйный поток на элементарные струйки и, выделив одну из них, определим её мощность в поперечноном сечении 1-1 потока (рис. 3.12).
При этом под мощностью будем понимать энергию жидкости, протекающей через поперечное сечение струйки в единицу времени. Учитывая, что энергия струйки на единицу веса жидкости, равна высоте полного гидродинамического напора и что в единицу времени через поперечное сечение протекает жидкость, вес которой равен весовому расходу струйки, можно записать, что
. (3.20)
А теперь, интегрируя мощность по всей площади живого сечения, получим мощность потока в данном живом сечении:
. (3.21)
Первый из интегралов равен объёмному расходу потока, выраженному через среднюю скорость:
. (3.22)
Что касается второго интеграла, то ясно, что
. (3.23)
Однако это неравенство можно превратить в равенство, вводя поправочный коэффициент
, (3.24).
Подставив (3.22) и (3.24) в уравнение (3.21), получим
.
Отнеся мощность потока к весу жидкости , получим высоту полного гидродинамического напора в данном живом сечении потока:
. (3.25)
Третье слагаемое в выражении (3.25) представляет собой удельную кинетическую энергию (высоту скоростного напора) в данном живом сечении потока.
Из выражения (3.24) следует, что - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения местных скоростей по сечению потока.
При равномерном распределении скоростей по сечению, т.е. при коэффициент. Чем более равномерно распределены скорости, тем меньше отличается коэффициентот единицы.
При равномерном движении жидкости коэффициент приблизительно равен
.
При неравномерном движении значения могут иногда значительно отличаться от единицы. Вместе с тем при выполнении гидравлических расчётов коэффициентчасто принимают равным единице, т.е. вовсе не учитывают.
Выражение (3.25) даёт величину полного гидродинамического напора в одном живом сечении потока. Чтобы получить уравнение Бернулли для потока, необходимо сравнить значения полного напора в разных сечениях.
Обозначим средние значения полного напора в сечениях 1-1 и 2-2 через и. Тогда,
, (3.26)
где - суммарные потери полного напора на участке между рассматриваемыми сечениями.
Запишем уравнение (3.26) применительно к двум сечениям в развёрнутой форме
. (3.27)
Это и есть уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой несжимаемой жидкости.
От уравнения (3.19) для элементарной струйки идеальной жидкости оно отличается коэффициентом , учитывающим неравномерность распределения скоростей, и членом, представляющим собой потерю полного напора, а скорости, входящие в это уравнение, являются средними скоростями.
Как и уравнение Бернулли в формах (3.17) и (3.18) уравнения (3.19) и (3.27) справедливы лишь при отсутствии инерционных сил переносного движении системы (например, для потока в неподвижном или равномерно и прямолинейно перемещающемся трубопроводе).
Давление
Давление Уравнение Бернулли можно рассматривать как формулировку принципа сохранения энергии, применимого к текущим жидкостям. Предупреждение об установившемся потоке : Хотя уравнение Бернулли сформулировано в терминах общепризнанных идей, таких как сохранение энергии и идеи давления, кинетической энергии и потенциальной энергии, его применение в приведенной выше форме ограничено случаями установившегося течения. . Для потока через трубу такой поток можно представить как ламинарный поток, что все еще является идеализацией, но если поток в хорошем приближении ламинарный, то можно смоделировать и рассчитать кинетическую энергию потока в любой точке жидкости. Кинетическая энергия на единицу объема в уравнении требует строгих ограничений для применения уравнения Бернулли - в основном это предположение о том, что вся кинетическая энергия жидкости вносит непосредственный вклад в процесс прямого потока жидкости. Следует также сказать, что хотя закон сохранения энергии применяется всегда, эта форма анализа этой энергии определенно не описывает, как эта энергия распределяется в переходных условиях. Хорошей визуализацией эффекта Бернулли является поток через сужение, но эта аккуратная картина не описывает жидкость, когда вы впервые включаете поток. Другим приближением, используемым в приведенной выше формулировке уравнения Бернулли, является пренебрежение потерями от жидкостного трения. Идеализированный ламинарный поток через трубу можно смоделировать с помощью закона Пуазейля, который включает вязкие потери, приводящие к снижению давления по мере продвижения по трубе. Формулировка уравнения Бернулли, приведенная выше, привела бы к ожиданию того, что давление вернется к значению P 1 миновать сужение, так как радиус возвращается к исходному значению. Расчет Бернулли | Индекс Концепции Бернулли | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|