Home » Misc » Энергетический смысл уравнения бернулли

Энергетический смысл уравнения бернулли


2.4. Геометрический и энергетический смысл уравнения д.Бернулли

Все члены, входящие в уравнение Д.Бернулли, имеют линейную размерность, поэтому их принято называть высотами. Соответственно общеприняты следующие названия для этих членов:

- геометрическая или геодезическая высота;

- пьезометрическая высота или высота давления;

- скоростная высота или скоростной напор.

Легко усмотреть следующий геометрический смысл уравнения Д.Бернулли, который заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма трех высот (геометрической, пьезометрической и скоростной) не меняется вдоль данной элементарной струйки. Это положение наглядно иллюстрируется II.01.

Можно трактовать смысл отдельных членов уравнения Бернулли иначе. Выше было показано, что сумма представляет собой удельную энергию жидкости. В соответствии с этим можно считать, что:

- есть удельная энергия положения;

- есть удельная энергия давления;

- есть удельная кинетическая энергия.

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма удельных энергий положения, давления и кинетической не меняется вдоль данной элементарной струйки.

Очевидно, двучлен представляет собойудельную потенциальную кинетическую энергию движущейся частицы жидкости. Полная удельная энергия (т.е. потенциальная + кинетическая) называется гидродинамическим напором и обозначается . Таким образом, уравнение Бернулли показывает, что при установившемся движении идеальной жидкости для данной струйки гидродинамический напор есть величина постоянная.

Рис. II.01

На графике линия гидродинамического напора изображается горизонтальной линией.

2.5. Уравнение д.Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости. Пьезометрический и гидравлический уклоны

При движении реальной жидкости между соседними струйками возникают силы трения, на преодоление которых затрачивается часть энергии жидкости. Поэтому удельная энергия жидкости в сечении элементарной струйки 2-2 будет мене удельной энергии жидкости в сечении 1-1 на некоторую величину , которую называют потерянной высотой или потерянной удельной энергией, затрачиваемой на преодоление гидравлических сопротивлений. Аналитически это положение запишется таким образом:

(11.14)

Следовательно, при установившемся движении реальной жидкости сумма четырех высот (геометрической, пьезометрической, скоростной и потерянной) или, что то же самое, сумма четырех удельных энергий 9положения, давления, кинетической и потерянной) не изменяется вдоль данной элементарной струйки.

Легко изобразить уравнение Бернулли для рассматриваемого случая графически. Для этого следует, выбрав произвольную горизонтальную плоскость сравнения, отложить на ней в каждом сечении высоты ;;и. Концы отрезков, соединенные плавной кривой, покажут положение оси струйки. Соединяя концы отрезковплавной кривой, получим так называемую пьезометрическую линию. Отложив в каждом сечении вверх от пьезометрической линии отрезки, равные скоростным напорам, и соединив их концы плавной кривой, получим линию гидродинамического напора или, как ее часто называют, гидравлическую линию (рис.II.02). Отрезки, равные расстояниям по вертикали от гидравлической линии, проходящей над плоскостью сравнения на высоте, равной начальной удельной энергии на гидравлические сопротивления на участке от начального до рассматриваемого сечения.

Рис. II.02

Проделаем теперь следующее построение: разверзнем криволинейную ось струйки s в горизонтальную прямую линию и в каждой ее точке отложим по вертикали значения удельных энергий ;и. Соединяя концы отрезкови , получим изображение пьезометрической и гидравлической линий. Падение пьезометрической линии на единицу длины элементарной струйки назовем пьезометрическим уклоном:

. (11.15)

Соответственно падение гидравлической линии на единицу длины элементарной струйки назовем гидравлическим уклоном I:

(11. 16)

На графике (рис. II.03) пьезометрический уклон представляется тангенсом угла наклона касательной к пьезометрической линии, а гидравлический уклон – тангенсом угла наклона касательной к гидравлической линии. Значение пьезометрического уклона может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, увеличивается или уменьшается величина удельной потенциальной энергии вдоль элементарной струйки.

Рис. II.03

Гидравлиеческий уклон есть всегда величина положительная, так как полная удельная энергия движущейся части жидкости постепенно уменьшается по мере ее продвижения вдоль элементарной струйки, затрачиваясь на преодоление сил трения, превращаясь в тепловую энергию и рассеиваясь.

3.9.2. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Если рассматривать уравнение Бернулли как уравнение энергии, то каждое из слагаемых должно измеряться в единицах работы. Чтобы перевести уравнение (3. 18) в уравнение работы надо умножить его на единицу силу, например, на 1Н, тогда размерность каждого слагаемого будет выражена в Нм (Дж).

Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесённую к единице массы. Тогда:

- удельная потенциальная энергия положения, т.к. частица жидкости массой , находясь на высоте, обладает энергией положения;

- удельная потенциальная энергия давления движущейся жидкости, т.к. частица жидкости массой при давленииобладает способностью подняться на высотуи приобрести потенциальную энергию;

- удельная кинетическая энергия давления движущейся жидкости, т.к. частица жидкости массой обладает кинетической энергией.

Итак, энергетический смысл уравнения Бернулли:

1) При установившемся движении идеальной жидкости полная удельная энергия в любом поперечном сечении равна сумме трёх удельных энергий - положения, давления и кинетической и есть величина постоянная;

2) При переходе от одного сечения струйки к любому другому её поперечному сечению удельная энергия одного вида может изменяться только за счёт изменения удельных энергий других видов.

Иными словами, уравнение Бернулли представляет собой частное выражение закона сохранения энергии применительно к струйке идеальной жидкости.

3.10. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости

Вязкая жидкость при движении испытывает сопротивление, поэтому её удельная энергия не может сохраняться неизменной вдоль струйки. На преодоление трения расходуется часть энергии, которая превращается в тепловую энергию, невозвратимую для рассматриваемой движущейся жидкости. Происходит так называемая диссипация (рассеяние) энергии в пространстве. Кроме того, энергия теряется на преодоление других различных видов сопротивлений.

В соответствии с этим при движении вязкой жидкости в уравнении Бернулли надо ввести поправку на потери напора по длине струйки. Выделим в потоке элементарную струйку (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Элементарная струйка

Обозначим полную удельную энергию в сечении 1-1 через , в сечении 2-2 через, а потери напора -.

Для идеальной струйки

,

А для реальной струйки в силу необратимых потерь на трение

.

В результате получим следующую запись уравнения Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости

. (3.19)

Полученное уравнение Бернулли справедливо для элементарной струйки вязкой жидкости.

3.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости

Разобьём установившийся параллельноструйный поток на элементарные струйки и, выделив одну из них, определим её мощность в поперечноном сечении 1-1 потока (рис. 3.12).

При этом под мощностью будем понимать энергию жидкости, протекающей через поперечное сечение струйки в единицу времени. Учитывая, что энергия струйки на единицу веса жидкости, равна высоте полного гидродинамического напора и что в единицу времени через поперечное сечение протекает жидкость, вес которой равен весовому расходу струйки, можно записать, что

. (3.20)

А теперь, интегрируя мощность по всей площади живого сечения, получим мощность потока в данном живом сечении:

. (3.21)

Первый из интегралов равен объёмному расходу потока, выраженному через среднюю скорость:

. (3.22)

Что касается второго интеграла, то ясно, что

. (3.23)

Однако это неравенство можно превратить в равенство, вводя поправочный коэффициент

, (3.24).

Подставив (3.22) и (3.24) в уравнение (3.21), получим

.

Отнеся мощность потока к весу жидкости , получим высоту полного гидродинамического напора в данном живом сечении потока:

. (3.25)

Третье слагаемое в выражении (3.25) представляет собой удельную кинетическую энергию (высоту скоростного напора) в данном живом сечении потока.

Из выражения (3.24) следует, что - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения местных скоростей по сечению потока.

При равномерном распределении скоростей по сечению, т.е. при коэффициент. Чем более равномерно распределены скорости, тем меньше отличается коэффициентот единицы.

При равномерном движении жидкости коэффициент приблизительно равен

.

При неравномерном движении значения могут иногда значительно отличаться от единицы. Вместе с тем при выполнении гидравлических расчётов коэффициентчасто принимают равным единице, т.е. вовсе не учитывают.

Выражение (3.25) даёт величину полного гидродинамического напора в одном живом сечении потока. Чтобы получить уравнение Бернулли для потока, необходимо сравнить значения полного напора в разных сечениях.

Обозначим средние значения полного напора в сечениях 1-1 и 2-2 через и. Тогда,

, (3.26)

где - суммарные потери полного напора на участке между рассматриваемыми сечениями.

Запишем уравнение (3.26) применительно к двум сечениям в развёрнутой форме

. (3.27)

Это и есть уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой несжимаемой жидкости.

От уравнения (3.19) для элементарной струйки идеальной жидкости оно отличается коэффициентом , учитывающим неравномерность распределения скоростей, и членом, представляющим собой потерю полного напора, а скорости, входящие в это уравнение, являются средними скоростями.

Как и уравнение Бернулли в формах (3.17) и (3.18) уравнения (3.19) и (3.27) справедливы лишь при отсутствии инерционных сил переносного движении системы (например, для потока в неподвижном или равномерно и прямолинейно перемещающемся трубопроводе).

Давление

Давление

Уравнение Бернулли можно рассматривать как формулировку принципа сохранения энергии, применимого к текущим жидкостям. Качественное поведение, которое обычно обозначают термином «эффект Бернулли», представляет собой снижение давления жидкости в областях, где скорость потока увеличивается. Это снижение давления при сужении пути потока может показаться нелогичным, но кажется менее таковым, если рассматривать давление как плотность энергии. В высокоскоростном потоке через сужение кинетическая энергия должна увеличиваться за счет энергии давления.

Предупреждение об установившемся потоке : Хотя уравнение Бернулли сформулировано в терминах общепризнанных идей, таких как сохранение энергии и идеи давления, кинетической энергии и потенциальной энергии, его применение в приведенной выше форме ограничено случаями установившегося течения. . Для потока через трубу такой поток можно представить как ламинарный поток, что все еще является идеализацией, но если поток в хорошем приближении ламинарный, то можно смоделировать и рассчитать кинетическую энергию потока в любой точке жидкости. Кинетическая энергия на единицу объема в уравнении требует строгих ограничений для применения уравнения Бернулли - в основном это предположение о том, что вся кинетическая энергия жидкости вносит непосредственный вклад в процесс прямого потока жидкости. Это должно сделать очевидным, что существование турбулентности или любого хаотического движения жидкости связано с некоторой кинетической энергией, которая не способствует продвижению жидкости по трубе.

Следует также сказать, что хотя закон сохранения энергии применяется всегда, эта форма анализа этой энергии определенно не описывает, как эта энергия распределяется в переходных условиях. Хорошей визуализацией эффекта Бернулли является поток через сужение, но эта аккуратная картина не описывает жидкость, когда вы впервые включаете поток.

Другим приближением, используемым в приведенной выше формулировке уравнения Бернулли, является пренебрежение потерями от жидкостного трения. Идеализированный ламинарный поток через трубу можно смоделировать с помощью закона Пуазейля, который включает вязкие потери, приводящие к снижению давления по мере продвижения по трубе. Формулировка уравнения Бернулли, приведенная выше, привела бы к ожиданию того, что давление вернется к значению P 1 миновать сужение, так как радиус возвращается к исходному значению. Этого не происходит из-за потери некоторой энергии активного процесса течения за счет трения в неупорядоченное молекулярное движение (тепловую энергию). Более точное моделирование можно выполнить, объединив уравнение Бернулли с законом Пуазейля. Реальным примером, который может помочь визуализировать процесс, является мониторинг давления потока через суженную трубу.

Расчет Бернулли

Индекс

Концепции Бернулли

  8
Гиперфизика***** Механика ***** Жидкости R Ступица
Назад
Расчет «реального» давления в сужении трубы выполнить сложно из-за вязких потерь, турбулентности и предположений, которые необходимо сделать о профиле скорости (которые влияют на расчетную кинетическую энергию). Расчет модели здесь предполагает ламинарный поток (отсутствие турбулентности), предполагает, что расстояние от большего диаметра до меньшего достаточно мало, чтобы можно было пренебречь вязкими потерями, и предполагает, что профиль скорости соответствует теоретическому ламинарному потоку. В частности, это предполагает допущение, что эффективная скорость потока составляет половину максимальной скорости и что средняя плотность кинетической энергии равна одной трети максимальной плотности кинетической энергии.
Теперь, если вы можете проглотить все эти предположения, вы можете смоделировать* поток в трубе, где объемный расход = см 3 /с, а плотность жидкости равна ρ = гм/см 3 . Для площади входной трубы A 1 = см 2 (радиус r 1 = см) геометрия потока приводит к эффективной скорости жидкости v 1 = см/с. Поскольку уравнение Бернулли включает также потенциальную энергию жидкости, высота впускной трубы определяется как h 1 = см. Если площадь трубки сужена до A 2 =см 2 (радиус r 2 = см), то без дальнейших предположений эффективная скорость жидкости в сужении должна быть v 2 = см/с . Высота суженной трубки указана как h 2 = см.

Теперь можно рассчитать плотность кинетической энергии в двух точках трубы и применить уравнение Бернулли для ограничения процесса с целью сохранения энергии, что даст значение давления в сужении. Сначала задайте давление во впускной трубе:
Давление на входе = P 1 = кПа = фунт/дюйм 2 = мм рт.ст. = атмосфера
Теперь можно рассчитать плотность энергии. Единицей энергии для используемых единиц СГС является эрг.

Плотность энергии впускной трубы
Плотность кинетической энергии = эрг/см 3
Плотность потенциальной энергии = эрг/см 3
Плотность энергии давления = эрг/см 3
Плотность энергии суженной трубки
Плотность кинетической энергии = эрг/см 3
Плотность потенциальной энергии = эрг/см 3
Плотность энергии давления = эрг/см 3
Плотность энергии давления в суженной трубе теперь можно окончательно преобразовать в более традиционные единицы измерения давления, чтобы увидеть влияние суженного потока на давление жидкости:

Расчетное давление при сужении =
P 2 = кПа = фунт/дюйм 2 = мм рт. ст. = атмосфера

Этот расчет может дать некоторое представление об энергии, связанной с потоком жидкости, но его точность всегда сомнительна из-за предположения о ламинарном потоке. Для типичных входных условий плотность энергии, связанная с давлением, будет преобладать на входной стороне; в конце концов, мы живем на дне атмосферного моря, которое дает большое количество энергии давления. Если используется достаточно резкое уменьшение радиуса, чтобы получить давление в сужении, которое меньше атмосферного давления, почти наверняка существует некоторая турбулентность, связанная с потоком в это сужение. Тем не менее, расчет может показать, почему мы можем получить значительную величину всасывания (давление меньше атмосферного) с помощью «аспиратора» на кране высокого давления. Эти устройства состоят из металлической трубки сужающегося радиуса с боковой трубкой в ​​области суженного радиуса для всасывания.

*Примечание. Некоторые значения по умолчанию будут введены для некоторых значений, когда вы начнете изучать расчет. Все они могут быть изменены как часть вашего расчета.

Индекс

Концепции Бернулли

  8
Гиперфизика***** Механика ***** Жидкости R Ступица
Назад

Невращающийся бейсбольный мяч или неподвижный бейсбольный мяч в воздушном потоке демонстрирует симметричный поток. Бейсбольный мяч, брошенный с вращением, будет искривляться, потому что одна сторона мяча испытывает меньшее давление. Это обычно интерпретируется как применение принципа Бернулли и включает вязкость воздуха и пограничный слой воздуха на поверхности шара.

Важна шероховатость поверхности мяча и шнурки на мяче! С идеально гладким мячом вы не получите достаточного взаимодействия с воздухом.

Есть некоторые трудности с этим изображением изогнутого бейсбольного мяча. Уравнение Бернулли нельзя использовать для предсказания степени искривления мяча; поток воздуха сжимаем, и вы не можете отслеживать изменения плотности, чтобы количественно оценить изменение эффективного давления. Экспериментальная работа Уоттса и Феррера с бейсбольными мячами в аэродинамической трубе предлагает другую модель, в которой особое внимание уделяется вращающемуся пограничному слою воздуха вокруг бейсбольного мяча. Со стороны шара, где пограничный слой движется в том же направлении, что и скорость набегающего потока воздуха, пограничный слой обтекает шар дальше, прежде чем он разделится на турбулентный поток. Со стороны, где пограничный слой противостоит набегающему потоку, он имеет тенденцию к преждевременному отрыву. Это дает чистое отклонение воздушного потока в одном направлении позади мяча и, следовательно, силу реакции третьего закона Ньютона на мяч в противоположном направлении. Это дает эффективную силу в том же направлении, указанном выше.

Аналогичные проблемы возникают при обработке вращающегося цилиндра в воздушном потоке, который, как было показано, испытывает подъемную силу. Это является предметом теоремы Кутта-Жуковского. Он также упоминается при обсуждении подъемной силы аэродинамического профиля.

Индекс

Уравнение Бернулли

Концепции Бернулли

Ссылка
Уоттс и Феррер

 
Гиперфизика***** Механика 90 ****2 Жидкости 90 ****2 Жидкости R Ступица
Назад
6 = e .0014 pressure,out +  E velocity,out +  E elevation,out + E loss                                       (1)

or

p in / ρ + V в 2 /2 + G H в + E Вал

= P Out / ρ + V 2 /2 + G v 2 /2 + G + 2 /2 + 2 /2 + 2 /2 + 2 /2 + 0390 E Потеря (1B)

, где

P = Статическое давление (PA, N/M 2 )

6 M 9 6 M 9 6 M 9 6 M 9 9.0332 = массовый расход (кг/с)

Q = объемный расход (м 3 /с)

от нулевого уровня до открытого резервуара на уровне

10 футов .

Воздух в верхней части обычного аэродинамического профиля испытывает сужение линий потока и повышенную скорость воздуха по сравнению с крылом. Это вызывает уменьшение давления на вершину по уравнению Бернулли и обеспечивает подъемную силу. Аэродинамики (см. Истлейк) используют модель Бернулли для корреляции с измерениями давления, сделанными в аэродинамических трубах, и утверждают, что, когда измерения давления производятся в нескольких местах вокруг аэродинамического профиля и суммируются, они разумно согласуются с наблюдаемой подъемной силой.

Иллюстрация подъемной силы
и угла атаки
Бернулли против Ньютона
для аэродинамической подъемной силы
Терминология аэродинамического профиля

Другие апеллируют к модели, основанной на законах Ньютона, и утверждают, что основная подъемная сила возникает в результате угла атаки. Часть модели закона Ньютона части подъемной силы включает в себя прикрепление пограничного слоя воздуха к верхней части крыла с результирующей струей воздуха за крылом. Если крыло сообщает воздуху направленную вниз силу, то по третьему закону Ньютона на крыло действует сила противоположного направления – подъемная сила. В то время как дебаты «Бернулли против Ньютона» продолжаются, позиция Истлейка состоит в том, что они действительно эквивалентны, просто разные подходы к одному и тому же физическому явлению. У НАСА есть хороший сайт по аэродинамике, на котором обсуждаются эти вопросы.

Увеличение угла атаки дает большую подъемную силу от направленной вверх составляющей давления на низ крыла. Подъемную силу можно рассматривать как силу реакции третьего закона Ньютона на силу, действующую вниз на воздух со стороны крыла.

При слишком большом угле атаки турбулентный поток резко увеличивает сопротивление и останавливает самолет.

След пара над крылом помогает визуализировать воздушный поток. Фотография Фрэнка Стармера, используется с разрешения.

ИНДЕКС

Уравнение Бернулли

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Eastlake


NASA
Aerodynamics

1898. 898. 89898. 8 . 44444.
Гиперфизика ******* ***** 2 44444 RISAVE ***** 2 Назад

Уравнение механической энергии и уравнение Бернулли

Уравнение энергии — это утверждение, основанное на Первом законе термодинамики, включающее энергию, теплопередачу и работу. С некоторыми ограничениями уравнение механической энергии можно сравнить с уравнением Бернулли.

Уравнение механической энергии в терминах энергии на единицу массы

Уравнение механической энергии для насоса или вентилятора можно записать в терминах энергии на единицу массы , где энергия, поступающая в систему, равна энергии, выходящей из системы. система.

E Давление, в + E Скорость, в + E Высота, в +E

9 9000 = e

9 9000 =
2 (PA, (N/M 2 ) 2929195595959595959595959595959595959595959595959595595995959. (кг/м 3 )

V = Скорость потока (м/с)

G = ускорение Gravity ( = ускорение Gravity ( .0034)

H = Высота высоты (M)

E Вал = Чистый вал на единицу массы для насоса, вентилятор или сходной

E потери = гидравлические потери в насосе или вентиляторе (Дж/кг)0320 или расширенное уравнение Бернулли .

The mechanical energy equation for a turbine - where power is produced - can be written as:

p in / ρ + v in 2 / 2 + g h in

= P OUT / ρ + V OUT 2 /2 + G H OUT + E Вал + E Потеря (2) E (2) E 0035

, где

E Вал = Энергия чистой вала на единицу массы для турбины (J/кг)

Уравнение (1) 9 и (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (1).

  • Энергия на единицу массы (FT 2 /S 2 = FT LB /SLUG OR M 2 /S 2 = N M /KG)

. Эффективность

555019 гг. (1) большие потери требуют большей работы вала для того же увеличения выходной энергии. Эффективность pump or fan process can be expressed as:

η = (E shaft - E loss ) / E shaft                                     (3)

КПД турбины процесса можно выразить следующим образом:

η = E вал / (E + вал потери

15

) (4)

Уравнение механической энергии с точки зрения энергии на единицу объема

Уравнение механической энергии для насоса или вентилятора (1) также может быть записано в терминах энергии на на одного единица объема путем умножения (1) на плотность жидкости - ρ :

p в + ρ v в 2 / 2 + γ h in + ρ E shaft

                 = p out + ρ v out 2 / 2 + γ h out + ρ E Потеря (5)

, где

γ = ρ G = Специфический вес (N/M 3 ) (N/M 3 ) )0332

Размеры по уравнению (5) равны

  • энергия на единицу объема (фут фунт/фут 3 = фунт/фут 2 909 м/м 5 = 90 904 90 или Нм/м 2 )

Уравнение механической энергии в терминах энергии на единицу веса с участием головок

Уравнение механической энергии для насоса или вентилятора удельный вес by dividing with gravity - g :

p in / γ + v in 2 / 2 g + h in + h shaft

                  = p out / γ + V OUT 2 /2 G + H OUT + H (6)

H SHAFT 9134

H SHAF = чистая энергия напора на валу на единицу массы для насоса, вентилятора и т. п. (м) M)

Размеры уравнения (6) -

  • Энергия на единицу Вес (FT LB/FT OR OR или NM/N = NM/N = NM/N = NM/N = NM/N = NM/N = NM/N = NM/N = NM/N = NM/N = NM/N = NM/M). это энергия на единицу веса.

    h shaft can also be expressed as:

    h shaft = E shaft / g

             = E shaft / m g = E Вал / γ Q (7)

    , где

    E Вал = Сила вала (w)

    M 9

    MA 9 9

Learn more